BLOQUE 8
Aplicas las leyes de senos y cosenos

Ley del seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y lahipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

EJERCICIOS!

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema  aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:                                                            Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.

Solución:

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

Ejercicios resueltos de ley de cosenos.1.- Determine cual es el valor del otro lado dado queConsiderando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo, tenemos:

 

2.- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos  determine el valor del ángulo.

Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

Sustituyendo los valores dados tenemos:

Ejercicios propuestos de la ley de cosenos.1.- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

Resolver el siguiente triangulo utilizando ley del seno: a=8cm b=10cm c=12cm



Para resolver el triangulo primera vez tenemos que aplicar la ley del coseno y luego ya que sabemos un angulo podemos aplicar la ley del seno.

❶ 

Aplicamos ley de coseno para el angulo Aº

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº)

8² = 10² + 12² - 2*10*12 cos(Aº)

64 = 100 + 144 - 240 cos(Aº)

cos(Aº) = (100 + 144 - 64) / 240

cos(Aº) = 180 / 240

cos(Aº) = 3/4 = 0.75

Aº = arccos(0.75)
___________
Aº = 41.42º |
___________|

❷

Ahora sabiendo un angulo podemos aplicar la ley del deno para hallar el Bº y el Cº

Ley Seno : a/sen(A) = b / sen(B) = c /sen(C)


a / sen(Aº) = b / sen (Bº)

sen(Bº) = (b/a) sen(Aº)

sen(Bº) = (10/8) sen(41.4º)

sen(Bº) = 1.25 * 0.66

sen(Bº) = 0.826

Bº = arcsen(0.826)
___________
Bº = 55.83º |
___________|

❸

a / sen(Aº) = c /sen(Cº)

sen(Cº) = (c/a) sen(Aº)

sen(Cº) =(12/8) sen(41.4º)

sen(Cº) =1.5 * 0.6613

sen(Cº)= 0.9919

Cº = arcsen(0.9919)
___________
Cº = 82.75º |
___________|

________________________ ___________________ ______________
COMPROBACION :

La suma de los 3 angulos internos en un triangulo es de 180º

Aº + Bº + Cº = ?????

=41.42º + 55.83º + 82.75º 

= 180º ......-----> Comprobado

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Un faro de 50 mts situado sobre un promontorio a 85 mts se ve un barco desde el extremo superior y 65 mts. desde el extremo inferior mide. Calcular la altura del promontorio


Pincha aqui para ver el dibujo del problema

http://img410.imageshack.us/i/dibujotrig…

Ahora para alcular es muy facil!!

Nos interesa la longitud del lado BD

1) en el triangulo BAC sabemos todos sus lados 

Aplicamos la ley del coseno para el angulo Aº

==> cos Aº = ( AB² + AC² - BC² ) / (2 * AB * AC)

==> cos Aº = (50² + 85² - 65² ) / (2 * 50 * 85)

==> cos Aº = (2500 + 7225 - 4225) / 8500

==> cos Aº = 5500 / 8500

==> cos Aº = 0.647058823

Ahora no hace falta calculr el angulo Aº porque ,lo que ne falta es el cos Aº

2) En el triangulo recto ADC aplicamos cos Aº

Sabemos qu en un triangulo recto 
cos =cateta adyacente / hipotenusis

==> cos Aº = AD / AC

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DE 1) y 2) resulta AD / AC = 0.647058823

==> AD = AC * 0.647058823 = 85 * 0.647058823 

==> AD = 54 .999999 

Como AD = AB + BD

==> BD = AD - AB = 54 .999999 - 50 = 4.999999

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RESPUESTA:

la altura del promontorio(BD) = 4.999999 aproximado 5 metros

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Aqui te dejo las leyes por si acaso no las sabes :

Dado un triángulo ABC, con ángulos Aº,Bº,Cº;el lado a está opuesto a Aº; el lado b opuesto a Bº;el lado c opuesto a Cº,
a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)


la LEY DEL SENO
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a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)





la LEY DEL COSENO
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c²= a² + b² - 2ab cos(Cº) --------> Cos(Cº)=(a² + b² - c²) / (2ab)

b² = a² + c² - 2ac cos(Bº) --------> Cos(Bº)=(a² + c² - b²) / (2ac)

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº) --------> Cos(Aº)=(b² + c² - a²) / (2bc)

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PROBLEMA

los angulos de elevacion de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estan a 275 km entre si y el globo se encuantra entre ambos puntos ,con el mismo plano vertical calcula la alturade h del globo sobre el suelo


Este problema se puede resolver de muchas formas 

❶ Sea 

......................C
....................../|\
..................../ .| .\
................./ ....| ....\
............../ .......| ......\
............/ .........| ........\
........../ ...........| ..........\
....A /________.|_______\ B
..................... D

Aº = 30º
Bº = 40º
AB = 275 km
------------
CD = H = ????

En el triangulo recto CDA aplicamos tangete de Aº

tanAº = (cateta opuesta) / (hipotenusa)

tan Aº = CD / AD 

tan 30º = H / AD ----> AD = H/ tan30º --->(1)

En el triangulo recto CDB aplicamos tangente de Bº

tanBº = CD / DB

tan 40º = H / DB ----> DB = H/ tan40º -->(2)

Sumamos (1) y (2) resulta

AD + DB = H/tan30º + H/tan40º

pero AD + DB = AB = 275 km

275 = (H tan40º + H tan30º) / tan30º tan40º

275 = H (tan40º + tan30º) / tan30º tan40º

H = (275 tan30º tan40º) / (tan 30º + tan 40º)

H = 133.22495936 / 1.4164499
_____________
H = 94.0555 km |
_____________| ---------> RESPUESTA


❷ Otra forma de resolverla sera:

a = AC .... b = BC ....... c = AB

Cº = 180º - 30º - 40º = 110º

apicando ley del seno :

b/sen B = c/senC 

b = c senB / senC = 275 sen (40º) / sen(110º)
__________
b = 188.111 |
__________|

Ahora en el triangulo recto CDA 

sen C = CD / AC

sen 30º = H / a

H = a sen 30º = 188.111 * 0.5 = 94.055
____________
H =94.055 Km |
____________| -----------> Respuesta

Hay muchas mas formas de resolver este tipo de problema

Te dejo este problema para resolverla .Es igual con la que tu tienes .

Dos observadores miden simultaneamente el angulo de elevacion de un helicoptero. Un angulo mide 25°, el otro 40°. Si los observadores estan separados 100 pies y el helicoptero esta sobre la linea que los une ¿a que altura esta el helicoptero?