MATEMATICAS 2

BLOQUE 7
Aplicas las funciones trigonométricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)	$\sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Demostración de funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Construcción geométrica de la suma de dos ángulos

Mirando la figura a la derecha se observa:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{BH}{AB}=\frac{HE+EB}{AB}=\frac{HE}{AB}+\frac{EB}{AB}$

Si $HE=DG$ (cateto opuesto del triángulo de ángulo $\alpha$ ), entonces $\frac{HE}{AB}=\frac{DG}{AB}$ . Se tiene entonces la expresión siguiente:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}$

En la razón $\frac{DG}{AB}$ se observa fácilmente que $DG$ y $AB$ pertenecen a triángulos diferentes, y si se multiplica tanto el numerador como el denominador por un lado en común a estos dos triángulos, se pueden obtener funciones trigonométricas:

$\frac{DG}{AB}=\frac{DG}{AB}\cdot \frac{AD}{AD}=\frac{DG}{AD}\cdot \frac{AD}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)$

Lo mismo para $\frac{EB}{AB}$ :

$\frac{EB}{AB}=\frac{EB}{AB}\cdot \frac{BD}{BD}=\frac{EB}{BD}\cdot \frac{BD}{AD}=\cos(\alpha)\sin(\beta)$

Luego:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$

Como ya conocemos la función seno, es fácil encontrar las funciones restantes:

La función coseno es una traslación de la función seno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda sobre el eje $x$ :

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta+\frac{\pi}{2})$

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+(\beta+\frac{\pi}{2}))$

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta+\frac{\pi}{2})+\sin(\beta+\frac{\pi}{2})\cos(\alpha)$

Si se traslada la función coseno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda, se obtiene la función negativa seno.

$\cos(\alpha+\beta)=-\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\beta)\cos(\alpha)$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$

La función $\tan(\alpha+\beta)$ se obtiene al efectuar:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}$

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}$

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que $\alpha = \beta$

$\sin(\alpha+\beta) =\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$
$\sin 2\alpha =\sin\alpha \cos\alpha) + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo $\cos\alpha$ a términos de $\sin\alpha$ , o convirtiendo $\sin\alpha$ a términos de $\cos\alpha$ :

$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1$
$\cos2\alpha =1-2\sin^2\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.$

EJERCICIOS
Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en

cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

   . Primero encontraremos el valor de la  ecuación que nos hace falta, en éste caso,    
              
        ya que sabemos que la función de  Coseno relaciona Lado Adyacente sobre 
             
        Hipotenusa, ya conocemos dichos  valores, nos faltaría encontrar Lado   
             
        Opuesto:

    . Ahora conociendo el  valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar
        
        cada una de las funciones que hacen  falta:

  3  Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

. Resolvamos primero la Fracción Mixta

      Multiplicamos 2 x 3 y el resultado  lo sumamos con el 1 dándonos como  resultado 7/2.
             
  . Ahora encontramos el valor que hace falta:

  Sustituimos valores:

. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

. Seguidamente graficamos:


Función seno

f(x) = sen x



Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: sen(−x) = −sen x


f(x) = cos x



Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: cos(−x) = cos x


Función tangente

f(x) = tg x



Dominio: 

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: tg(−x) = −tg x


Función cotangente

f(x) = cotg x



Dominio:

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: cotg(−x) = −cotg x


Función secante

f(x) = sec x



Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]  [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: sec(−x) = sec x


Función cosecante

f(x) = cosec x



Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]  [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: cosec(−x) = −cosec x