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Escribes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

Relaciones trigonométricas

"Trigon" es el griego para triángulo, y "metric" es el griego para medida. Las relaciones trigonométricas son medidas especiales de un triángulo rectángulo (un triángulo con un ángulo que mide 90^o). Recuerde que los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto son llamados los catetos, y el tercer lado (opuesto al ángulo recto) es llamada la hipotenusa.

Hay tres relaciones trigonométricas básicas: seno, coseno, y tangente. Dado un triángulo rectángulo, puede encontrar el seno (o el coseno, o la tangente) de cualquiera de los ángulos diferentes del de 90^o.

Ejemplo:

Escriba las expresiones para el seno, coseno, y tangente de A.

La longitud del cateto opuesto A es a. La longitud del cateto adyacente a A es b, y la longitud de la hipotenusa esc.

El seno del ángulo está dado por la relación "opuesto entre hipotenusa". Así,

El coseno está dado por la relación "adyacente entre hipotenusa".

La tangente está dada por la relación "opuesto entre adyacente".

Generaciones de estudiantes han usado la mnemónica "SOHCAHTOA" para recordar cual relación es cual. (Seno:Opuesto entre Hipotenusa, Coseno: Adyacente entre Hipotenusa, Tangente: Opuesto entre Adyacente.)

Otras relaciones trigonométricas

Las otras relaciones trigonométricas comúnes son:

Ejemplo:

Escriba las expresiones para la secante, cosecante, y cotangente de A.

La longitud del cateto opuesto A es a. La longitud del cateto adyacente a A es b, y la longitud de la hipotenusa esc.

La secante del ángulo está dada por la relación "hipotenusa entre adyacente". Así,

La cosecante está dada por la relación "hipotenusa entre opuesto".

La cotangente está dada por la relación "adyacente entre opuesto".

Resolución de triángulos

Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área.

Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos:

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

2. Se conocen los dos catetos

3.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Ejercicios

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

1.-Obtencion del valor de un lado, conocidos un angulo y un lado

Ejemplo:

Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un angulo de 60� con respecto al piso.

Procedimiento:

a) Trazar el triangulo rectangulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.

b) Seleccionar una razan trigonometrica que relacione al angulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.

c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.

d) Sustituir las literales por sus valores numericos de acuerdo con los datos.

e) Obtener el valor natural del angulo por medio de las tablas trigonometricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.

c = 5 m

f) Dar solucion al problema.

c = longitud de la escalera

Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

2. Obtencion del valor de un angulo agudo, conocidos dos lados del triangulo

Obtener el angulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Ahora se tienen unicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del angulo.

Procedimiento:

a)Trazar un triangulo rectangulo anotando en los datos.

b) Seleccionar la funcion trigonomrtrica que relacione a los lados conocidos con el angulo.