Empleas la circunferencia
La circunferencia y el Círculo
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, formada por el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro, mientras que el circulo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
Circunferencia Círculo
De tal forma, que en sentido vulgar, podemos decir que una circunferencia corresponde al perímetro, mientras que un círculo corresponde al área.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia, comúnmente llamados notables:
Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro).
Cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
Flecha: linea que una la circunferencia con una cuerda, y es perpendicular a ella. Si se llegara a extender pasaría por el centro.
Flecha: linea que una la circunferencia con una cuerda, y es perpendicular a ella. Si se llegara a extender pasaría por el centro.
Secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia.
Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos |de un diámetro.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Central: si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
Semi-inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Interior: si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Exterior: si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
Perímetro y Área
Longitud de la circunferencia corresponde a lo que comúnmente llamamos perímetro, y se calcula mediante las fórmulas:
Donde:
P = Perímetro o longitud de la circunferencia (en unidades de longitud).
π = Número Ludof (pi) que equivale a 3.1416 aproximadamente.
r = Radio de la circunferencia (en unidades de longitud).
D = Diámetro de la circunferencia (en unidades de longitud).
En el caso de querer obtener la superficie o área de un círculo debemos emplear las fórmulas:
Donde:
A = Área o superficie del círculo (en unidades de área).
π = Número Ludof (pi) que equivale a 3.1416 aproximadamente.
r = Radio de la circunferencia (en unidades de longitud).
D = Diámetro de la circunferencia (en unidades de longitud).
EJERCICIOS
| .Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6. |
En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene:  Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente:  | |
.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas:  y . |
..
Al resolver simultáneamente el sistema:  se obtiene  . Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).
 es el valor del radio. Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con  y  , se obtiene:  | ||
.Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos  y  . |
Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r es  . Es decir,  (fórmula de la distancia). Esto es,  Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del segmento  . (Ver fig.). Asi que:  y  Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es:  . | |
.La ecuación:  representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r. |
..
La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:    Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce que:  y  . Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8. | |
| .Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio. |
....
Su ecuación es la forma
Como B(4, -2) Î C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0 Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2) Como C(9, 3) Î C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0 Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3) El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así: 12e + f = -36 8d – 4e + f = -20 18d + 6e + f = -90 o también:   cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0 Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir: (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25 ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5. | |||||
.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la recta  . |
.Determine los puntos comunes a la circunferencia  y a la recta  . |
..
Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones: (1)  (2) De (2) se tiene:  (3). Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir:  La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único punto de intersección. Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene:  . De esta forma  es el único punto común a la recta y a la circunferencia. En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto  . La figura adjunta ilustra la situación.
Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
1
2
3
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
 , y que pasa por el punto (-3,4).
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:
1 x + 7y -20 = 0
2 3x + 4y - 27 = 0
3 x + y - 10 = 0
| ||
No hay comentarios:
Publicar un comentario