MATEMATICAS 2

BLOQUE 1
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones geométricas
punto

es la unida grafiaca minima;el punto no tiene longitud, ni anchura.

linea

es una sucesión infinita de puntos,las lineas poseen una sola dimensión, longitud,y carece de anchura y espesor.

linea curva

cuando los puntos no están alineados en una misma dirección

plano

una identidad que tiene dos dimenciones: ancho y largo (es un concepto geometrico no definido)

puntos colineales ubicados en una misma linea recta o sobre el mismo plano

recta paralela rectas que están en el mismo plano pero nuca se interceptan y tienen la misma distancia entre ellas

rectas intersecantes son dos rectas que tienen un punto en común

recta perpendicular forman un angulo recto o de 90 *

rectas concorrantes son dos o mas rectas con un punto en comun

Definición de ángulo: Abertura entre dos ayos que inician en un mismo punto. Rayos=lados, Punto=vértice.

Clasificación de los ángulos:

Por sus medidas
Por la suma de sus medidas
Por la posición de sus lados

Por sus medidas:

ángulo colineal=180º
ángulo recto= 90º
ángulo agudo= menos de 90º, más de 0º
ángulo obtuso= más de 90º, menos de 180º
ángulo cóncavo= más de 180º, menos de 360º
ángulo perígono= 360º

Por la suma de sus medidas:

ángulos complementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 90º
ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 180º

Por la posición de sus lados:

ángulo adyacente: Están los dos a un lado del otro, compartiendo un mismo lado y un mismo punto común.
ángulos opuestos al vértice: Cuando dos rectas se intersecan o se cortan, los pares de ángulos que se forman son opuestos por el vértice.

RELACIONES MÉTRICAS

Las relaciones métricas en el triángulo son aquellas tratan las relaciones entre longitudes o ángulos, entre las cuales se destaca elTeorema de Pitágoras que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo y se aplica sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.

Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos

VERTICES A B C

LADOS (COMO SEGMENTO) BC AC AB

LADOS (COMO LONGITUD) a b c

ANGULOS a=a=A=BAC B=b=B=ABC r=c=C=ACB

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y bson los catetos y c es la hipotenusa.

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

$a = \sqrt {c^2 - b^2}$ $b= \sqrt{c^2-a^2}$ $c = \sqrt {a^2 + b^2}$

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

Triángulo utilizado para describir las propiedades.

Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa,

h es la altura relativa a la hipotenusa,

p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

El cuadrado de un cateto es igual al producto de los catetos, la hipotenusa por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:

$a^2 = c\cdot p \,$

$b^2 = c\cdot q \,$

comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{b}{c}=\frac{q}{b}$

despejando

$b^2 = c\cdot q \,$

El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:

$h^2 = p\cdot q \,$

comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{q}{h}=\frac{h}{p}$

despejando:

$h^2 = p\cdot q \,$

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

$c^2 = a^2+b^2 \,$

comprobación

del teorema anterior:

$a^2 = c\cdot p \,$

$b^2 = c\cdot q \,$

sumando ambas ecuaciones:

$b^2+a^2=c\cdot q+c\cdot p \,$

luego

$b^2+a^2=c(p+q) \,$

pero p+q=c

$b^2+a^2=c\cdot c \,$

finalmente

$c^2 = a^2+b^2 \,$

El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:

$a.b = h\cdot c \,$

comprobación

existen dos comprobaciones:

1) a partir de las superficies o áreas:

$A=\frac1{2}a\cdot b\,$

$A=\frac1{2}c\cdot h\,$

eso quiere decir que:

$\frac1{2}a\cdot b=\frac1{2}c\cdot h\,$

que al eliminar los doses:

$a\cdot b=c\cdot h\,$

2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{c}{h}=\frac1{b}{a}\,$

despejando:

$a\cdot b=c\cdot h\,$

El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:

$\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,$

comprobación

por el teorema de Pitágoras:

$c^2 = a^2+b^2 \,$

dividimos entre $(a\cdot b)^2\,$ :

$\frac{c^2}{(ab)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a\cdot b)^2}\,$

pero a.b=c.h

$\frac{c^2}{(ch)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a\cdot b)^2}\,$

eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:

$\frac1{h^2} = \frac{a^2}{(a\cdot b)^2}+\frac{b^2}{(a\cdot b)^2} \,$

simplificando

$\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,$

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

$\frac{a}{b} = \frac{b}{m}$ , también se cumple: $\frac{a}{c} = \frac{c}{n}$

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

$\frac{m}{h} = \frac{h}{n}$ , es decir: $h^2 = m \cdot n \,$

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

$h_a=\frac{b\cdot c}{a}$ ; $h_b=c$ ; $h_c=b$

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que h_a, h_b y h_c son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

$a^2 = b^2 + c^2 \,$

donde $a \,$ es la medida de la hipotenusa.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

ANGULO RECTO =<a=90° ANGULO EXTENDIDO O LLANO

<a=180°

ANGULO AGUDO= <a= <90° ANGULO OBTUSO= <a = >90°<180°

ANGULO REFLEJO O CONCAVO ANGULO COMPLETO

= <a = >180° <360° <a= 360°

LOS ANGULOS POR SU POCICION

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
LOS ÁNGULOS 1 Y 3 SON IGUALES, LOS ÁNGULOS 2 Y 4 SON IGUALES

ANGULOS ENTE DOS PARALELAS Y UNA SECANTE

Al trazar dos lineas pueden ocurrir dos situaciones la primera, que se cruzen en un punto;la segunda por mas que se prolonguen no lleguen a unirse

DOS RECTAS SITUADAS EN EL MISMO PLANO QUE NO SE CORTAN SON PARALELAS

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho angulos, los cuales se presentan por las letras minusculas;estas se clasifican por parejas de acuerdo con la posicion que tienen con la secante.

1. angulos colaterales internos;son angulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

LOS ANGULOS COLATERALES SON:

<c y <f; <e y <d.

2 los angulos colaterales externos son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

LOS ANGULOS COLATERALES EXTERNOS

SON:<c y <g;<d y <h

3 los angulos correspondientes son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante formando pareja, un interno con externo LOS ANGULOS CORRESPONDIENTES

SON:<a y <e; <c y <g;

<b y <f; <d y <h

4 los angulos alternos internos: son los angulos internos en unoy otro lado de la secante.

LOS ANGULOS ALTERNOS INTERNOS SON:

<e y <d;<c y <f.

5 los angulos alternos externos son los angulos exteriores que se encunetran en uno y otro lado de la secante LOS ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON:

<a y <h; <b y <g.

ANGULOS POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

DOS ANGULOS SON COMPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 90°

DOS ANGULOS SON SUPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 180°

* TRIÁNGULOS*

MEDIDA DE SUS ANGULOS

TRIANGULO ES UNA FIGURA SIMPLE CERREDA FORMADA POR TRES SEGMENTOS NO LINEALES.ES UN POLIGONO DE TRES LADOS. LA SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS INTERIORES ES IGUAL A 180°

TRIANGULO EQUILATERO

ES UN TRIANGULO CON TRES LADOS CONGRUENTES, EJEMPLO DE UN TRIANGULO EQUILATERO:10 CM, 10 CM, 10 CM.

TIANGULO ISOSELES

ES UN TRIANGULO QUE TIENE 2 LADOS CONGRUENTES EJEMPLOS 6 CM 6 CM 8 CM

TRIANGULO ESCALENO

ES UN TRIANGULO QUE NO TIENE NINGUN PAR DE LADOS CONGRUENTES EJEMPLO 5 CM 7 CM 9 CM

CLASIIFICACION DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación ejemplo de triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área:

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir obtienes el área formada por el cuadrado de la hipotenusa,

Fíjate en la figura siguiente:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir: