lunes, 29 de abril de 2013

BLOQUE 3
Resuelves problemas de semejanza de triángulos y
Teorema de pitagoras




Dos figuras geométricas son semejantes si existe al menos una relación de semejanza o similitud entre ambos.
Triángulos semejantes.png
Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.


Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:
(ABC \sim A'B'C') \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} \widehat{A}=\widehat{A}' \\ \widehat{B}=\widehat{B}' \\ \widehat{C}=\widehat{C}' \end{Bmatrix} \Longleftrightarrow \left ( \frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}} \right )

  • Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
  • Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulo

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T) (BLM \sim BAC)
D)
Triangulos semejantes 2.png

Podrán presentarse 3 casos:

[editar]Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
\wedge B = \wedge B por carácter reflejo
\wedge BLM = \wedge A por ser correspondientes entre r || AC, secante AB
\wedge BML = \wedge C por ser correspondientes entre r || AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:
\frac{BL}{BA}=\frac{BM}{BC}\qquad \bigotimes
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
\frac{BM}{BC}=\frac{AN}{AC}\qquad \bigoplus
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en \bigoplus se obtiene:
\frac{BM}{BC}=\frac{LM}{AC}\qquad \bigodot
De \bigotimes y \bigodot se obtiene la consideración que llamaremos (2):
\frac{BL}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{LM}{AC}
Luego de (1) y (2), resulta:
BLM \sim BAC por definición de semejanza.

[editar]Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
(BAC \sim BLM) \Rightarrow (BLM \sim BAC) por carácter simétrico.

[editar]Tercer caso

r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces BNO \sim BAC por el caso I, semejanza que llamaremos \otimes.
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM \oplus por el primer corolario de la definición.
De \otimes y \oplus, y por carácter transitivo:
BAC ~ BLM \Rightarrow BLM ~ BAC



TEOREMA DE PITAGORAS 

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
cuando se va a hallar la hipotenusa se Suma. ejemplo: h^2= a^2 + b^2
cuando se va a hallar un cateto se Resta. ejemplo: c^2= a^2 - h^2
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

                       Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
a = \sqrt {c^2 - b^2}                    b= \sqrt{c^2-a^2}                       c = \sqrt {a^2 + b^2}


El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, enMesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.



Euklidova veta.svg
Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices\text{A}\text{B}\text{C}
Lados (como segmento)\text{BC}\text{AC}\text{AB}
Lados (como longitud)abc
Ángulos \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
  • De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}
b^2\ =\ b'c
  • De la semejanza entre ABC y BHC:
\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}
a^2\ =\ a'c
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )
Pero \left (a'+b'\right )=\ c, por lo que finalmente resulta:
a^2\ +\ b^2 =c^2
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )
S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )
obtenemos después de simplificar que:
\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}
pero siendo \frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r la razón de semejanza, está claro que:
\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2
que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } (I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2
\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}
pero según (I) \frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }, así que:
\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}
y por lo tanto:
b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2
quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a,b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:
  • Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
  • El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c^2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b^2+a^2), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

EJERCICIOS 
  La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma raízcm.
 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
  En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
  Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.



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