MATEMATICAS 2 : abril 2013

BLOQUE 8
Aplicas las leyes de senos y cosenos

Ley del seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y lahipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac * cos(B)

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

EJERCICIOS!

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.

Solución:

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

Ejercicios resueltos de ley de cosenos.1.- Determine cual es el valor del otro lado dado queConsiderando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo, tenemos:

2.- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos determine el valor del ángulo.

Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

Sustituyendo los valores dados tenemos:

Ejercicios propuestos de la ley de cosenos.1.- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

Resolver el siguiente triangulo utilizando ley del seno: a=8cm b=10cm c=12cm

Para resolver el triangulo primera vez tenemos que aplicar la ley del coseno y luego ya que sabemos un angulo podemos aplicar la ley del seno.

❶

Aplicamos ley de coseno para el angulo Aº

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº)

8² = 10² + 12² - 2*10*12 cos(Aº)

64 = 100 + 144 - 240 cos(Aº)

cos(Aº) = (100 + 144 - 64) / 240

cos(Aº) = 180 / 240

cos(Aº) = 3/4 = 0.75

Aº = arccos(0.75)
___________
Aº = 41.42º |
___________|

❷

Ahora sabiendo un angulo podemos aplicar la ley del deno para hallar el Bº y el Cº

Ley Seno : a/sen(A) = b / sen(B) = c /sen(C)

a / sen(Aº) = b / sen (Bº)

sen(Bº) = (b/a) sen(Aº)

sen(Bº) = (10/8) sen(41.4º)

sen(Bº) = 1.25 * 0.66

sen(Bº) = 0.826

Bº = arcsen(0.826)
___________
Bº = 55.83º |
___________|

❸

a / sen(Aº) = c /sen(Cº)

sen(Cº) = (c/a) sen(Aº)

sen(Cº) =(12/8) sen(41.4º)

sen(Cº) =1.5 * 0.6613

sen(Cº)= 0.9919

Cº = arcsen(0.9919)
___________
Cº = 82.75º |
___________|

________________________ ___________________ ______________
COMPROBACION :

La suma de los 3 angulos internos en un triangulo es de 180º

Aº + Bº + Cº = ?????

=41.42º + 55.83º + 82.75º

= 180º ......-----> Comprobado

========================== ========================

Un faro de 50 mts situado sobre un promontorio a 85 mts se ve un barco desde el extremo superior y 65 mts. desde el extremo inferior mide. Calcular la altura del promontorio

Pincha aqui para ver el dibujo del problema

http://img410.imageshack.us/i/dibujotrig…

Ahora para alcular es muy facil!!

Nos interesa la longitud del lado BD

1) en el triangulo BAC sabemos todos sus lados

Aplicamos la ley del coseno para el angulo Aº

==> cos Aº = ( AB² + AC² - BC² ) / (2 * AB * AC)

==> cos Aº = (50² + 85² - 65² ) / (2 * 50 * 85)

==> cos Aº = (2500 + 7225 - 4225) / 8500

==> cos Aº = 5500 / 8500

==> cos Aº = 0.647058823

Ahora no hace falta calculr el angulo Aº porque ,lo que ne falta es el cos Aº

2) En el triangulo recto ADC aplicamos cos Aº

Sabemos qu en un triangulo recto
cos =cateta adyacente / hipotenusis

==> cos Aº = AD / AC

======================

DE 1) y 2) resulta AD / AC = 0.647058823

==> AD = AC * 0.647058823 = 85 * 0.647058823

==> AD = 54 .999999

Como AD = AB + BD

==> BD = AD - AB = 54 .999999 - 50 = 4.999999

===========
RESPUESTA:

la altura del promontorio(BD) = 4.999999 aproximado 5 metros

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Aqui te dejo las leyes por si acaso no las sabes :

Dado un triángulo ABC, con ángulos Aº,Bº,Cº;el lado a está opuesto a Aº; el lado b opuesto a Bº;el lado c opuesto a Cº,
a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)

la LEY DEL SENO
==============

a/sen(Aº) = b/sen(Bº) = c/sen(Cº)

la LEY DEL COSENO
=================
c²= a² + b² - 2ab cos(Cº) --------> Cos(Cº)=(a² + b² - c²) / (2ab)

b² = a² + c² - 2ac cos(Bº) --------> Cos(Bº)=(a² + c² - b²) / (2ac)

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº) --------> Cos(Aº)=(b² + c² - a²) / (2bc)

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PROBLEMA

los angulos de elevacion de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 30 grados y 40 grados respectivamente los puntos a y b estan a 275 km entre si y el globo se encuantra entre ambos puntos ,con el mismo plano vertical calcula la alturade h del globo sobre el suelo

Este problema se puede resolver de muchas formas

❶ Sea

......................C
....................../|\
..................../ .| .\
................./ ....| ....\
............../ .......| ......\
............/ .........| ........\
........../ ...........| ..........\
....A /________.|_______\ B
..................... D

Aº = 30º
Bº = 40º
AB = 275 km
------------
CD = H = ????

En el triangulo recto CDA aplicamos tangete de Aº

tanAº = (cateta opuesta) / (hipotenusa)

tan Aº = CD / AD

tan 30º = H / AD ----> AD = H/ tan30º --->(1)

En el triangulo recto CDB aplicamos tangente de Bº

tanBº = CD / DB

tan 40º = H / DB ----> DB = H/ tan40º -->(2)

Sumamos (1) y (2) resulta

AD + DB = H/tan30º + H/tan40º

pero AD + DB = AB = 275 km

275 = (H tan40º + H tan30º) / tan30º tan40º

275 = H (tan40º + tan30º) / tan30º tan40º

H = (275 tan30º tan40º) / (tan 30º + tan 40º)

H = 133.22495936 / 1.4164499
_____________
H = 94.0555 km |
_____________| ---------> RESPUESTA

❷ Otra forma de resolverla sera:

a = AC .... b = BC ....... c = AB

Cº = 180º - 30º - 40º = 110º

apicando ley del seno :

b/sen B = c/senC

b = c senB / senC = 275 sen (40º) / sen(110º)
__________
b = 188.111 |
__________|

Ahora en el triangulo recto CDA

sen C = CD / AC

sen 30º = H / a

H = a sen 30º = 188.111 * 0.5 = 94.055
____________
H =94.055 Km |
____________| -----------> Respuesta

Hay muchas mas formas de resolver este tipo de problema

Te dejo este problema para resolverla .Es igual con la que tu tienes .

Dos observadores miden simultaneamente el angulo de elevacion de un helicoptero. Un angulo mide 25°, el otro 40°. Si los observadores estan separados 100 pies y el helicoptero esta sobre la linea que los une ¿a que altura esta el helicoptero?

BLOQUE 7
Aplicas las funciones trigonométricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)	$\sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Demostración de funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Construcción geométrica de la suma de dos ángulos

Mirando la figura a la derecha se observa:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{BH}{AB}=\frac{HE+EB}{AB}=\frac{HE}{AB}+\frac{EB}{AB}$

Si $HE=DG$ (cateto opuesto del triángulo de ángulo $\alpha$ ), entonces $\frac{HE}{AB}=\frac{DG}{AB}$ . Se tiene entonces la expresión siguiente:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}$

En la razón $\frac{DG}{AB}$ se observa fácilmente que $DG$ y $AB$ pertenecen a triángulos diferentes, y si se multiplica tanto el numerador como el denominador por un lado en común a estos dos triángulos, se pueden obtener funciones trigonométricas:

$\frac{DG}{AB}=\frac{DG}{AB}\cdot \frac{AD}{AD}=\frac{DG}{AD}\cdot \frac{AD}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)$

Lo mismo para $\frac{EB}{AB}$ :

$\frac{EB}{AB}=\frac{EB}{AB}\cdot \frac{BD}{BD}=\frac{EB}{BD}\cdot \frac{BD}{AD}=\cos(\alpha)\sin(\beta)$

Luego:

$\sin(\alpha+\beta)=\frac{DG}{AB}+\frac{EB}{AB}=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$

Como ya conocemos la función seno, es fácil encontrar las funciones restantes:

La función coseno es una traslación de la función seno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda sobre el eje $x$ :

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta+\frac{\pi}{2})$

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+(\beta+\frac{\pi}{2}))$

$\cos(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta+\frac{\pi}{2})+\sin(\beta+\frac{\pi}{2})\cos(\alpha)$

Si se traslada la función coseno $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda, se obtiene la función negativa seno.

$\cos(\alpha+\beta)=-\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\beta)\cos(\alpha)$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$

La función $\tan(\alpha+\beta)$ se obtiene al efectuar:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}$

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}$

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que $\alpha = \beta$

$\sin(\alpha+\beta) =\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$
$\sin 2\alpha =\sin\alpha \cos\alpha) + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo $\cos\alpha$ a términos de $\sin\alpha$ , o convirtiendo $\sin\alpha$ a términos de $\cos\alpha$ :

$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1$
$\cos2\alpha =1-2\sin^2\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.$

EJERCICIOS
Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en

cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

   . Primero encontraremos el valor de la  ecuación que nos hace falta, en éste caso,    
              
        ya que sabemos que la función de  Coseno relaciona Lado Adyacente sobre 
             
        Hipotenusa, ya conocemos dichos  valores, nos faltaría encontrar Lado   
             
        Opuesto:

    . Ahora conociendo el  valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar
        
        cada una de las funciones que hacen  falta:

  3  Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

. Resolvamos primero la Fracción Mixta

      Multiplicamos 2 x 3 y el resultado  lo sumamos con el 1 dándonos como  resultado 7/2.
             
  . Ahora encontramos el valor que hace falta:

  Sustituimos valores:

. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

. Seguidamente graficamos:


Función seno

f(x) = sen x



Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: sen(−x) = −sen x


f(x) = cos x



Dominio: 

Recorrido: [−1, 1]

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: cos(−x) = cos x


Función tangente

f(x) = tg x



Dominio: 

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: tg(−x) = −tg x


Función cotangente

f(x) = cotg x



Dominio:

Recorrido: 

Continuidad: Continua en 

Período: 

Impar: cotg(−x) = −cotg x


Función secante

f(x) = sec x



Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]  [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Par: sec(−x) = sec x


Función cosecante

f(x) = cosec x



Dominio: 

Recorrido: (− ∞, −1]  [1, ∞)

Período: 

Continuidad: Continua en 

Impar: cosec(−x) = −cosec x